Сборник заданий на тему «Тригонометрические функции»
Пособие содержит задачи и теоретический материал по всем основным темам раздела «Тригонометрические функции».
Единичная тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии
Тригонометрические функции, их свойства и графики. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических
преобразований графиков
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков
Обратные тригонометрические функции
Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным
Однородные тригонометрические уравнения
Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла
Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно
Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной подстановки
История России. Банк необходимых знаний
2559 фактов и 247 объектов на карте, которые уже были в ЕГЭ.
Слова и выражения для задания 40 в ЕГЭ по английскому
Полезные слова и выражения для успешного написания эссе с описанием диаграммы или таблицы.
Итоговая контрольная работа по географии для 8 класса
Промежуточная (итоговая) аттестация по географии учащихся 8 классов общеобразовательных учреждений.
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Основы тригонометрии задания для тренировки
1. Решить уравнение cos2x = 1/2.
Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:
2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z).
Используем формулу из методов решений, имеем:
Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:
Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение
Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:
tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.
Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.
Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.
Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.
6. Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.
Проделаем следующие преобразования
(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;
2cos4xcos2x + cos4x = 0;
cos 4 x (2 cos 2 x + 1) = 0.
cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z).
Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.
7. Решить уравнение cos5x = cos2x.
Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:
sin (7 x /2) sin (3 x /2) = 0;
Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.
Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z).
Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z).
Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.
Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:
Уравнение распадается на два случая:
sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z).
Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm
Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:
А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).
Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:
Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2.
Возвращаемся к неизвестному x и получаем
из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n ∈ Z);
из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m ∈ Z).
Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.
10. Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.
Заметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:
Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:
Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.
Замена же приводит к следующему уравнению:
Делая преобразования получаем 8y = 6;
Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда
x = 2arctg(3/4) + 2 π n (n ∈ Z).
Ответ : x = 2arctg(3/4) + 2 π n или x = π + 2 π n.
12. Решить уравнение sin3x cos8x = 1.
Используем формулу произведения синуса и косинуса:
Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n ∈ Z).
Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.
Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m ∈ Z).
Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n ∈ Z).
Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (m ∈ Z).
Найдем общее решение:
n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t ∈ Z).
Откуда x = π m/2 = (1 + t) π /2 = 3 π /2 + π t (t ∈ Z).
14. Решить уравнение sin3x cos5x = 1.
Используем формулу произведения синуса и косинуса:
Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n ∈ Z) (*).
Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:
Практические работы по математике по разделу «Основы тригонометрии. Тригонометрические функции»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ САХАЛИНСКОЙ ОБЛАСТИ
ГБПОУ «СТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»
ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО ПРЕДМЕТУ «МАТЕМАТИКА»
Раздел: Основы тригонометрии. Тригонометрические функции.
( 
)
Практические работы по математике по разделу « Основы тригонометрии. Тригонометрические функции » и методические указания по их выполнению предназначены для студентов ГБПОУ «Сахалинский строительный техникум»
Составител ь : Казанцева Н. А., преподаватель математики
Материал содержит практические работы по математике по разделу « Основы тригонометрии. Тригонометрические функции » и указания по их выполнению. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по математике и предназначены для студентов Сахалинского строительного техникума , обучающихся по программам общего образования.
Практическое занятие №2. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа………………………………………………………………………. 3
Практическое занятие №3. Основные формулы тригонометрии и их применение…………………………………………………………………4
Практическое занятие №1.
Радианная мера угла. Вращательное движение.
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Радианная мера угла. Вращательное движение».
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Радианная мера угла. Вращательное движение», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Не забывайте о правильном оформлении решения.
Задания для практической работы:
1. Выразить в радианной мере величины углов: 2.Выразить в градусной мере величины углов:
Практическое занятие №2.
Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Синус, косинус, тангенс и котангенс числа».
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Синус, косинус, тангенс и котангенс числа», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Не забывайте о правильном оформлении решения.
Задания для практической работы:
Найти числовое значение выражения:
Найти числовое значение выражения:
Практическое занятие №3.
Основные формулы тригонометрии и их применение.
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Основные формулы тригонометрии».
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Основные формулы тригонометрии», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Не забывайте о правильном оформлении решения.
Задания для практической работы:
Вычислить значения других трех тригонометрических функций,
Вычислить значения других трех тригонометрических функций,
Практическое занятие №4.
Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов».
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Не забывайте о правильном оформлении решения.
Задания для практической работы:
I вариант практической работы
Найти числовое значение выражения: а) со s 135 0 ;
II вариант практической работы
Найти значение выражения :
cos107 0 ∙ cos17 0 + sin107 0 ∙ sin17 0 ;
cos 36 0 ∙ cos 24 0 ˗ sin 36 0 ∙ sin 24 0 ;
sin 63 0 ∙ cos 2 7 0 +cos6 3 0 ∙ sin 2 7 0 ;
Найти значение выражения:
sin 0 ∙ cos˗cos ∙ sin.
Практическое занятие №5.
Применение формул приведения.
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Формулы приведения».
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Формулы приведения», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Не забывайте о правильном оформлении решения.
Задания для практической работы:
г) ctg 315 0 ; д) ; е) tg ; ж) 690 0 ; з) tg 660 0 ;
г) tg 150 0 ; д) ; е) cos ; ж) 1020 0 ; з) с tg 390 0 ;
Практическое занятие № 6.
Вычисление синуса, косинуса, тангенса двойного угла.
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Формулы двойного угла тригонометрических функций».
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Формулы двойного угла тригонометрических функций», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Не забывайте о правильном оформлении решения.
Задания для практической работы:
а); б) cos 2 α + sin 2 α ∙ tgα ; в) ;
Практическое занятие № 7.
Периодичность тригонометрических функций
Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Периодичность тригонометрических функций».
Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы
Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Периодичность тригонометрических функций», после чего можно приступать к выполнению практической части.
Не забывайте о правильном оформлении решения.
Задания для практической работы:
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-521707
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Около половины детей болеют коронавирусом в бессимптомной форме
Время чтения: 1 минута
Средняя зарплата учителей в Москве достигла 122 тыс. рублей
Время чтения: 1 минута
В Тюменской области студенты и школьники перейдут на дистанционное обучение
Время чтения: 2 минуты
Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для образовательных учреждений
Время чтения: 1 минута
Почти все вузы в России открыли пункты вакцинации от ковида
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Сборник тестовых заданий по математике. Раздел: Тригонометрия.
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
средняя общеобразовательная школа №2 с. Буздяк
муниципального района Буздякский район Республики Башкортостан
Сборник тестовых заданий по математике
Волкова Любовь Михайловна – заместитель директора по учебно – производственной работе ГАОУ СПО «Чистопольский политехнический колледж», кандидат педагогических наук, Заслуженный учитель Республики Татарстан.
МБОУ «Гимназия № 1» Чистопольского муниципального района.
Предлагаемое учебное пособие предназначено для учащихся 10-11 классов, а также для преподавателей математики.
В пособие включены тестовые задания разных уровней сложности по основным темам раздела: Тригонометрия. Каждая тема пособия снабжена кратким теоретическим введением и иллюстрациями решения типовых задач, рассматриваемых в проверочных и итоговых тестах. Учебное пособие содержит ключи к решениям тестов, что позволяет студентам самостоятельно проверить свои знания.
Тема 2. Тригонометрические функции числового аргумента…………………… 8
Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента……………………. 9
Тест 3. Формулы приведения……………………………………………………. 13
Тема 4. Основные формулы тригонометрии……………………………………. 15
Тест 4. Основные формулы тригонометрии……………………………………. 17
Тест 5. Итоговый тест по теме: Основы тригонометрии………………………. 19
Тема 6. Свойства тригонометрических функций………………………………. 21
Тест 6. Свойства тригонометрических функций………………………………… 23
Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс……………………… 25
Тест 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс………………………. 27
Тема 8. Решение простейших тригонометрических уравнений………………. 29
Тест 8. Решение простейших тригонометрических уравнений………………… 33
Тема 9. Тригонометрические уравнения…………………………………………. 35
Тест 9. Тригонометрические уравнения………………………………………….. 46
Тема 10. Простейшие тригонометрические неравенства………………………. 48
Тест 10. Решение простейших тригонометрических неравенств………………. 50
Тест 11. Итоговый тест по теме: Решение тригонометрических
Предлагаемый сборник тестовых задач предназначен для использования в качестве учебного пособия по предмету: Математика, соответствующего требованиям образовательного стандарта для учащихся 10-11 классов.
Сборник содержит задания для проведения текущего и итогового контроля знаний обучающихся по разделу: Тригонометрия. Тесты и итоговые тесты тематически сгруппированы, что даёт возможность целенаправленно изучить материал.
В пособии представлены тесты, по своей структуре напоминающие тесты
ЕГЭ, что пригодится для выпускников при поступлении в ВУЗы. Все вопросы
тестов разделены на три уровня сложности. Задания части А – базового уровня,
части В – повышенного, части С – высокого уровня. При оценивании
результатов тестирования это необходимо учитывать. Каждое верно-
выполненное задание уровня А оценивается в 1 балл, уровня В – в 2 балла,
уровня С – в 3 балла. Следовательно, при оценивании ответов, можно
использовать следующую шкалу:
80-100% от максимальной суммы баллов – оценка «5»;
На выполнение тематических тестов рекомендуется выделять 20-30 минут, на выполнение итоговых тестов – 45-50минут. Тематические тесты могут быть включены в урок на любом этапе: актуализации знаний, закрепления изученного материала, повторения. Они внесут разнообразие в контроль и коррекцию знаний, умений и навыков, и не отнимут много времени. И в то же время анализ выполнения тестов поможет выделить повторяющиеся ошибки, как индивидуально у каждого студента, так и в целом по группе. В приложении к сборнику приведены ключи к тестам, что позволит преподавателю быстро проверить ответы, выполнить коррекцию знаний учащихся.
Тест 1. Радианная и градусная мера угла
А1. Что такое угол в 1 радиан?
1) Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
2) Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна диаметру окружности.
3) Угол в 1 радиан – это такой тупой угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
А2. По какой формуле можно выразить градусную меру угла в радианную?
А3. Выразите в радианной мере величины углов: 36º, 270º, 60º.
1) 30º; 180º; 120º ; 2) 120º; 180º; 30º; 3) 30º; 180º; 110º
В1. Отметьте на единичной окружности точку если:
В2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка
С1. Выразите в радианной мере величины углов и определите, в какой
Тест 1. Радианная и градусная мера угла
А1. По какой формуле можно найти длину дуги l для окружности
А2. Какой зависимостью связаны радианная и градусная меры?
А3. Выразите в радианной мере величины углов: 45º, 270º, 216º.
1) 45º; 360º; 36º; 2) 40º; 180º; 36º; 3) 45º; 180º; 360º
В1. Отметьте на единичной окружности точку если:
В2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка
Тема 2. Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргумента t – это функции
В функциях у = cos t , у = sin t , у = tg t , у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом. С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;
В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая
сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом
область значений этих функций:
же являются косинусом и синусом нашего угла. А зная синус и косинус угла,
можно найти его тангенс и котангенс по формулам:
Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат,
является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.
Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента
А1. Отношение абсциссы точки на окружности к её ординате называется…..
1) синусом угла; 2) котангенсом угла; 3) тангенсом угла
А2. В какой четверти расположен угол 250º?
1) В I ; 2) Во II ; 3) В III
1) нет, да, нет; 2) да, нет, да; 3) да, да, нет
В2. Найдите значения синуса и косинуса =.
С1. Запишите следующие числа в порядке убывания:
Тест 2. Тригонометрические функции числового аргумента
А1. Отношение ординаты точки на окружности к её абсциссе называется…..
1) синусом угла; 2) котангенсом угла; 3) тангенсом угла
А2. В какой четверти расположен угол 320º?
1) В IY ; 2) Во II ; 3) В III
1) нет, да, да; 2) да, нет, да; 3) да, да, нет
В2. Найдите значения синуса и косинуса =-5,5.
С1. Запишите следующие числа в порядке возрастания:
Тема 3. Формулы приведения
При решении тригонометрических уравнений или совершении
тригонометрических преобразований первым делом нужно минимизировать
количество различных аргументов тригонометрических функций. Для этого
нужно все углы привести к углам первой четверти, воспользовавшись
формулами приведения. А также, необходимо знать знаки
тригонометрических функций. 
Мнемоническое правило, которое позволяет не заучивать формулы приведения .
Если мы откладываем угол от вертикальной оси, то приводимая функция
меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на
котангенс, котангенс на тангенс. Если мы откладываем угол от горизонтальной
оси, то приводимая функция не меняет свое название. Перед приведённой
функцией ставится тот знак, который имеет функция в данной четверти.
Пример 1. Найдите значение
меняется, угол расположен в третьей четверти, в которой тангенс
имеет положительный знак, следовательно, приводимая функция
Пример 2. Найти значение выражения:
1. Выделим целую часть в дроби
Теперь наш аргумент находится в пределах от нуля до, следовательно:
Тест 3. Формулы приведения
А1. Замените тригонометрической функцией угла выражение
А2. Замените тригонометрической функцией угла выражение
А3. Найдите значение
А4. Найдите значение
В1. Найдите значение выражения:
В2. Расположите выражения в порядке возрастания:
С1. Упростите выражение:
Тест 3. Формулы приведения
А1. Замените тригонометрической функцией угла выражение
А2. Замените тригонометрической функцией угла выражение
А3. Найдите значение
А4. Найдите значение
В1. Найдите значение выражения:
В2. Расположите выражения в порядке возрастания:
С1. Упростите выражение:
Тема 4. Основные формулы тригонометрии
Связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
, , 
, 
, 
, 
Тригонометрические функции суммы и разности углов
, 
, 
Тригонометрические функции двойного, тройного и половинного аргумента
,
, 
Формулы преобразования произведения тригонометрических
, 
, 
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
, 
, 
, 
Раскроем скобки по формуле и в полученное выражение подставим значения синуса.
Тест 4. Основные формулы тригонометрии
А2. Могут ли синус и косинус одного и того же угла быть равными соответственно: и
С1. Докажите тождество:
Тест 4. Основные формулы тригонометрии
А2. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: и
В1. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:
Тест 5. Итоговый тест по теме:
А1. Выразите в радианной мере величины углов: 180º, 216º, 150º.
1) III, YI, YI; 2) I, II, I; 3) III, YI; II
1) нет, да, нет; 2) нет, нет, да; 3) да, да, нет
А4. Используя формулы приведения, вычислить:
В1. Упростите выражение:
С1. Докажите тождество:
Тест 5. Итоговый тест по теме:
А1. Выразите в радианной мере величины углов: 360º, 116º, 95º.
1) II, III, I; 2) I, III, I; 3) II, II, I
1) нет, да, нет; 2) нет, нет, да; 3) да, да, нет
А4. Используя формулы приведения, вычислить:
В1. Упростите выражение:
С1. Докажите тождество:
Тема 6. Свойства тригонометрических функций
Соотношения сторон и их связь с функциями:
Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Множество значений: E(y) = [−1;1]. Функция y=sin(α) – нечетная, т.к.
Функция оказывается периодической, наименьший положительный период
соответствует 2π, т.е. sin(α+2π)=sin(α).
Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),n ∈ Z и y при
Свойства косинуса 
Область определения функции : D(y)=R.
Множество значений : E(y) = [−1;1].
Функция периодическая, наименьший
положительный период соответствует 2π : cos(α+2π)=cos(α).
Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n ∈ Z и
Функция y=tg(α) – нечётная, т.к. tg(−α)=−tg α.
Функция периодическая, наименьший
положительный период соответствует π, т.е. tg(α+π)=tg(α).
Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n ∈ Z и y при
Множество значений: E(y)=R. 
Функция периодическая, наименьший
положительный период равен π, т.е.
График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn, n ∈ Z.
Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn), n ∈ Z и y при
Пример 1. Найдите наименьший положительный период функции y =
периодом функции y = является число
Тест 6. Свойства тригонометрических функций
А1. Какая из функций: является чётной?
А2. У каких функций наименьший положительный период Т = 2π?
А3. Какое из выражений не имеет смысла?
А4. Какое из чисел меньше нуля?
В1. Углом какой четверти является угол α, если α
В2. Найдите наименьший положительный период функции
C 1. Найдите область значений и наибольшее, наименьшее значения функции
Тест 6. Свойства тригонометрических функций
А1. Какие из функций являются нечётными?
А2. У каких функций наименьший положительный период Т = π?
А3. Какое из выражений не имеет смысла?
А4. Какое из чисел больше нуля?
В1. Углом какой четверти является угол α, если α > 0, α > 0?
В2. Найдите наименьший положительный период функции
C 1. Найдите область значений и наибольшее, наименьшее значения функции
Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x= sin y ), имеющая
Арккосинус ( y= arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x= cos y ),
Арктангенс ( y= arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x= tg y ), имеющая
область определения: и множество
Арккотангенс ( y= arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x= ctg y ),
Графики обратных тригонометрических функций
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков
тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой
y= arctg x 
y= arcctg x
