Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код
Выбор способа хранения целых чисел в памяти компьютера — не такая тривиальная задача, как могло бы показаться на первый взгляд. Желательно, чтобы этот способ:
Рассмотрим разные методы представления.
Содержание
Прямой код [ править ]
Достоинства представления чисел с помощью прямого кода [ править ]
Недостатки представления чисел с помощью прямого кода [ править ]
Из-за весьма существенных недостатков прямой код используется очень редко.
Код со сдвигом [ править ]
По сути, при таком кодировании:
Достоинства представления чисел с помощью кода со сдвигом [ править ]
Недостатки представления чисел с помощью кода со сдвигом [ править ]
Из-за необходимости усложнять арифметические операции код со сдвигом для представления целых чисел используется не часто, но зато применяется для хранения порядка вещественного числа.
Дополнительный код (дополнение до единицы) [ править ]
В качестве альтернативы представления целых чисел может использоваться код с дополнением до единицы (англ. Ones’ complement).
Алгоритм получения кода числа:
Достоинства представления чисел с помощью кода с дополнением до единицы [ править ]
Недостатки представления чисел с помощью кода с дополнением до единицы [ править ]
Дополнительный код (дополнение до двух) [ править ]
Чаще всего для представления отрицательных чисел используется код с дополнением до двух (англ. Two’s complement).
Алгоритм получения дополнительного кода числа:
Длинная арифметика для чисел, представленных с помощью кода с дополнением до двух [ править ]
Достоинства представления чисел с помощью кода с дополнением до двух [ править ]
Недостатки представления чисел с помощью кода с дополнением до двух [ править ]
Несмотря на недостатки, дополнение до двух в современных вычислительных системах используется чаще всего.
Для чего предназначены обратный и дополнительный коды?
При выполнении арифметических операций в ЭВМ применяют специальные коды для представления чисел (с целью упрощения арифметических операций) : прямой, обратный и дополнительный коды чисел. Например, упрощается определение знака результата операции, вычитание есть сложение кодов, облегчено определение переполнения разрядной сетки.
Прямой код (представление в виде абсолютной величины со знаком) двоичного числа – это само двоичное число, в котором все цифры, изображающие его значение, записываются как в математической записи, а знак числа записывается двоичной цифрой.
Пример: Дано число X=-1011. Перевести число в прямой код.
Обратный код положительного числа совпадает с прямым, а при записи отрицательного числа все его цифры, кроме цифры, изображающей знак числа, заменяются на противоположные (0 заменяется на 1, а 1 – на 0).
Пример: Дано число X=-1011. Перевести число в обратный код.
Дополнительный код (представление в виде дополнения до двойки) положительного числа совпадает с прямым, а код отрицательного числа образуется как результат увеличения на 1 его обратного кода.
Иными словами, процесс построения дополнительного кода отрицательного числа можно разбить на два этапа – построить обратный код, а затем из него построить дополнительный.
Пример: Дано число X=-1011. Перевести в дополнительный код.
http://microkontroller.ru/programmirovanie-mikrokontrollerov-avr/pryamoy-obratnyiy-dopolnitelnyiy-kod-dvoichnogo-chisla/
.
Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа
Прямой код двоичного числа
Обратный код двоичного числа
Дополнительный код двоичного числа
Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде.
Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.
Прямой код
Обратный код
Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.
Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:
Дополнительный код
В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).
Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде
Вывод:
1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода
2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода
(36 голосов, оценка: 4,67 из 5)
Обратный и дополнительный коды двоичных чисел
Пример перевода
x1=10101-[x1]пр=010101
x2=-11101-[x2]пр=111101
x3=0,101-[x3]пр=0,101
x4=-0,111-[x4]пр=1,111
2) Обратный код числа, используется для выполнения арифметических операций вычитания, умножения, деления, через сложение. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа формируется по правилам: в знаковом разряде записывается “1”; цифровые значения меняются на противоположные.
3) Дополнительный код числа, имеет такое же назначение, как и обратный код числа. Формируется по следующим правилам: положительные числа в дополнительном коде выглядят также как и в обратном и в прямом коде, т.е. не изменяются. Отрицательные числа кодируются следующим образом: к обратному коду отрицательного числа (к младшему разряду) добавляется 1, по правилу двоичной арифметики.
Пример перевода
x1=10101-[x1]доп=010101
x2=-11101-[x2]обр=100010+1-[x2]доп=100011
x3=0,101-[x3]доп=0,101
x4=-0,111-[x4]обр=1,000+1-[x4]доп=1,001
Для выявления ошибок при выполнении арифметических операций используются также модифицированные коды: модифицированный прямой; модифицированный обратный; модифицированный дополнительный, для которых под код знака числа отводится два разряда, т.е. “+”=00; ”-”=11. Если в результате выполнения операции в знаковом разряде появляется комбинация 10 или 01 то для машины это признак ошибки, если 00 или 11 то результат верный.
Дополнительный код (представление числа)
Дополнительный код (дополнение до 2) двоичного числа получается добавлением 1 к младшему значащему разряду его дополнения до 1. [1]
Дополнение до 2 двоичного числа определяется как величина полученная вычитанием числа из наибольшей степени двух (из 2 N для N-битного дополнения до 2).
Содержание
Представление отрицательного числа в дополнительном коде
При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее с прямым кодом. Если число, записанное в прямом коде, отрицательное, то все разряды числа инвертируются, а к результату прибавляется 1. К получившемуся числу дописывается старший (знаковый) разряд, равный 1.
Двоичное 8-ми разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах равно 
, что равно 127.
| Десятичное представление | Код двоичного представления (8 бит) | ||
|---|---|---|---|
| прямой | обратный | дополнительный | |
| 127 | 01111111 | 01111111 | 01111111 |
| 1 | 00000001 | 00000001 | 00000001 |
| 0 | 00000000 | 00000000 | 00000000 |
| -0 | 10000000 | 11111111 | — |
| -1 | 10000001 | 11111110 | 11111111 |
| -2 | 10000010 | 11111101 | 11111110 |
| -3 | 10000011 | 11111100 | 11111101 |
| -4 | 10000100 | 11111011 | 11111100 |
| -5 | 10000101 | 11111010 | 11111011 |
| -6 | 10000110 | 11111001 | 11111010 |
| -7 | 10000111 | 11111000 | 11111001 |
| -8 | 10001000 | 11110111 | 11111000 |
| -9 | 10001001 | 11110110 | 11110111 |
| -10 | 10001010 | 11110101 | 11110110 |
| -11 | 10001011 | 11110100 | 11110101 |
| -127 | 11111111 | 10000000 | 10000001 |
| -128 | — | — | 10000000 |
Дополнительный код для десятичных чисел
Тот же принцип можно использовать и в компьютерном представлении десятичных чисел: для каждого разряда цифра X заменяется на 9−X, и к получившемуся числу добавляется 1. Например, при использовании четырёхзначных чисел −0081 заменяется на 9919 (9919+0081=0000, пятый разряд выбрасывается).
При применении той же идеи к привычной 10-ричной системе счисления получится (например, для гипотетического процессора использующего 10-ричную систему счисления):
| 10-ричная система счисления («обычная» запись) | 10-ричная система счисления, дополнительный код |
|---|---|
| . | . |
| 13 | 0013 |
| 12 | 0012 |
| 11 | 0011 |
| 10 | 0010 |
| 9 | 0009 |
| 8 | 0008 |
| . | . |
| 2 | 0002 |
| 1 | 0001 |
| 0 | 0000 |
| -1 | 9999 |
| -2 | 9998 |
| -3 | 9997 |
| -4 | 9996 |
| . | . |
| -9 | 9991 |
| -10 | 9990 |
| -11 | 9989 |
| -12 | 9988 |
| . | . |
Преобразование в дополнительный код
Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.
Пример. Преобразуем отрицательное число −5, записанное в прямом коде, в дополнительный. Прямой код числа −5, взятого по модулю:
Инвертируем все разряды числа, получая таким образом обратный код:
Добавим к результату 1
Допишем слева знаковый единичный разряд
Для обратного преобразования используется тот же алгоритм. А именно:
Инвертируем все разряды числа, получая таким образом обратный код:
Добавим к результату 1 и проверим, сложив с дополнительным кодом
p-адические числа
В системе p-адических чисел изменение знака числа осуществляется преобразованием числа в его дополнительный код. Например, если используется 5-ричная система счисления, то число, противоположное 1000. (1) равно 4444. (−1).