Курсовая «Ряды Фурье и их применение»
Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный педагогический университет »
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Направление подготовки: 050.100.62 педагогическое образование
Профиль подготовки: математика
Форма обучения: очная
Ишматова Айгерим Кайрбековна,
3 курс, 304-М группа
Оглавление
Введение
Разложение функций в ряд Фурье – это математический прием, который можно наблюдать и в природе, если использовать прибор, чувствующий синусоидальные функции.
Данный процесс происходит, когда человек слышит какой-либо звук. Ухо человека устроено таким образом, что может чувствовать отдельные синусоидальные колебания давления воздуха разной частоты, что, в свою очередь, позволяет человеку распознавать речь, слушать музыку.
Ухо человека воспринимает звук не целиком, а через составляющие его ряда Фурье. Струны музыкального инструмента производит звуки, представляющие собой синусоидальные колебания различных частот. Действительность разложения света в ряд Фурье представляет радуга. Зрение человека воспринимает свет через некоторые его составляющие разных частот электромагнитных колебаний.
Преобразованием Фурье является функция, которая описывает фазу и амплитуду синусоид, определенной частоты. Это преобразование используют для решения уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под действием энергии. Ряды Фурье решают задачу выделения постоянных составляющих в сложных колебательных сигналах, что позволило правильно трактовать полученные данные экспериментов, наблюдений в медицине, химии и астрономии [8].
Открытие данного преобразования принадлежит французскому математику Жан Батисту Жозефу Фурье. В честь, которого впоследствии было и названо рядом Фурье. Первоначально ученый нашел применение своего метода при изучении и объяснении механизмов теплопроводности. Было предположено, что изначальное нерегулярное распределение тепла можно представить в виде простейших синусоид. Для каждой, из которых будет определен температурный минимум, максимум и фаза. Функция, описывающая верхние и нижние пики кривой, фазу каждой гармоники называется преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор преобразования предложил способ разложения сложной функции в виде суммы периодических функций косинуса, синуса [2].
Целью курсовой работы является изучение ряда Фурье и актуальности практического применения данного преобразования.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1) дать понятие тригонометрического ряда Фурье;
2) определить условия разложимости функции в ряд Фурье;
3) рассмотреть разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций;
4) рассмотреть разложение в ряд Фурье непериодической функции;
5) раскрыть практическое применение ряда Фурье.
Объект исследования: разложение функций в ряд Фурье.
Предмет исследования: ряды Фурье.
Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, аксиоматический метод.
1. Ряды Фурье в действительной области
1.1. Понятие периодической функции
В природе и технике мы часто сталкиваемся с периодическими функциями времени. Процессы, связанные с работой любой машины, любого механизма, процессы и явления, изучаемые в курсе физики, электротехнике дают нам примеры такого рода величин. В настоящее время периодические функции хорошо изучены и широко используются в различных областях техники.
Определение. Число называется периодом функции если для любого из области определения функции числа также принадлежат области определения и
Поэтому, обычно говоря о периоде функции, имеют ввиду наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству (1).
то функции и – периодические функции с периодом 2 Аналогично, в силу равенств
Отметим некоторые свойства периодических функций.
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т является периодической функцией того же периода Т.
Так, например, функция – периодическая функция периода
2) Если функция имеет период Т, то функция имеет период .
Действительно, для любого
Например, для функции имеем:
Следовательно, эта функция имеет период и, по предыдущему свойству, такой же период будет иметь функция
Преобразуем последний интеграл:
В частности, если и из (3) следует
1.2. Тригонометрический полином
Это периодическая функция с периодом Имеем:
График синусоидальной функции получается из графика синусоиды следующим образом:
1) растяжением по оси с коэффициентом растяжения ;
2) сжатием графика с коэффициентом сжатия ;
2) Растянем этот график по оси в 2 раза и получим график функции
, изображенный на рисунке 2.
4) Сместим полученный график влево на и получим искомый график, изображенный на рисунке 4.
Сложение гармоник одной частоты (одного периода) дает гармонику той
же частоты. Действительно,
дает более сложную периодическую функцию, чем синусоидальная функция.
Определение. Функция вида
называется тригонометрическим полиномом n -го порядка.
Прибавим к сумме (7) постоянное слагаемое означающее сдвиг начала отсчета. Получим
Но оказалось, что если брать конечное число гармоник, то не всегда удается представить в виде суммы (8). В общем случае такое представление возможно, только если число слагаемых бесконечно, т.е.
Отметим несколько фактов, касающихся сходимости ряда (9).
В дальнейшем будем решать задачу разложения сложного колебания на сумму простых гармоник.
Определение. Представление периодических функций в виде суммы гармоник, называется гармоническим анализом.
1.3. Ортогональность тригонометрической системы функций
Определение . Нормой функции на отрезке называется число
Пример. Рассмотрим систему тригонометрических функций 1,
Ортонормированный система (1.10) не будет, так как
Учитывая последние равенства, получаем, что ортонормированной будет система функций
Заметим, что функции системы (10) ( а также системы (11)) линейно независимы.
Аналогично можно показать, что на система функций
является ортогональной, а система функций
Ортогональную (ортонормированную) систему функций можно считать аналогом ортогонального (ортонормированного) базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Как мы позднее убедимся, имеется класс функций, которые являются линейными комбинациями функций ортогональной (ортонормированной) системы, причем слагаемых в линейной комбинации может быть бесконечное число. Линейная комбинация с бесконечным числом слагаемых представляет собой ряд. Использование ряда как функции связано с вопросами сходимости этого ряда.
Рассмотрим разложение функции по тригонометрической системе функций (10).
1.4. Тригонометрический ряд Фурье
Определение. Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется разложение этой функции по тригонометрической системе функций (10), т.е. ряд
Определение. Числа — называются коэффициентами тригонометрического ряда Фурье [2] .
1) Интегрируя почленно ряд (14) будем иметь:
(равенство нулю интегралов показано ранее, при доказательстве ортогональности системы (10)). Отсюда находим
3) Аналогично, умножая ряд (14) на и почленно интегрируя, получим:
Таким образом, получили:
Найти ряд Фурье для функции – значит найти коэффициенты по формулам (15) и записать тригонометрический ряд (14) с этими коэффициентами [2].
1.4.1. Условия разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье
Если непрерывная (или кусочно-непрерывная) функция на монотонна или кусочно-монотонна, то в любой внутренней точке она имеет левый и правый предел, т.е. существуют
Теорема (Дирихле) . Пусть функция определена на и удовлетворяет на этом отрезке условиям:
непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода (т.е. кусочно-непрерывна);
монотонна или имеет конечное число точек экстремумов (т.е. кусочно-монотонна).
. То есть на границах отрезка функция равна среднему арифметическому левого предела функции в точке и правого предела функции в точке [9].
Условия 1) и 2) теоремы Дирихле называются условиями Дирихле.
1) определены для всех и, следовательно, тригонометрический ряд Фурье определен для всех ;
2) сумма тригонометрического ряда (14) является функцией периодической с периодом ;
3) во всех точках непрерывности функции на отрезке и, следовательно, и в остальных точках непрерывности функции (т.к. обе функции периодические с периодом ).
1.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Рассмотрим симметричный интеграл
Следовательно, если четная функция, то (т.е. график четной функции симметричен относительно оси и
Т.е. симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу по половинному промежутку интегрирования, а симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.
Отметим следующие два свойства четных и нечетных функций:
1) произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная;
2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.
Следовательно, тригонометрический ряд Фурье на отрезке будет иметь вид
для четной функции:
для нечетной функции:
Ряд (16) не содержит синусов кратных углов, то есть в ряд Фурье четной функции входят только четные функции и свободный член. Ряд (17) не содержит косинусов кратных углов, то есть в ряд Фурье нечетной функции входят только нечетные функции [8].
Определение. Ряды
являются частями полного ряда Фурье и называются неполными тригонометрическими рядами Фурье.
Если функция разлагается в неполный тригонометрический ряд (16) (или (17)), то говорят, что она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (или по синусам).
1.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции
1.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на
Получившуюся в результате замены функцию можно разложить на в ряд Фурье:
Сделаем обратную замену ⇒ Получим
Ряд (18) – ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций
Таким образом, получили, что если функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле, то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (18) по тригонометрической системе функций (20) [8].
для нечетной функции
1.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на
1) Аналогично можно разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке
2) Так как разложение функции на отрезке предполагает ее продолжение на отрезок произвольным образом, то и ряд Фурье для функции не будет единственным [3].
1.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на
Пусть функция задана на произвольном отрезке длины и удовлетворяет на нем условиям теоремы Дирихле.
Поэтому коэффициенты Фурье для полученного продолжения функции можно найти по формулам
2. Практическое применение рядов Фурье
2.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение
В тригонометрический ряд Фурье требуется разложить функцию, являющуюся периодическим продолжением заданной на отрезке функции. Для этого необходимо пользоваться алгоритмом разложения периодической функции в ряд Фурье.
Алгоритм разложения периодической функции в ряд Фурье:
1) Построить график заданной функции и ее периодического продолжения;
2) Установить период заданной функции;
3) Определить функция четная, нечетная или общего вида;
4) Проверить выполнимость условий теоремы Дирихле;
5) Составить формальную запись ряда Фурье, порожденного данной функцией;
6) Вычислить коэффициенты Фурье;
7) Записать ряд Фурье для заданной функции, используя коэффициенты ряда Фурье (п.4).
1) Построим график заданной функции и его периодическое продолжение.
Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана
Bauman National Library
Персональные инструменты
Ряд Фурье
Ряд Фурье — представление, к которому может быть приведена произвольная периодическая функция.
Обычно, говоря о рядах Фурье, имеют в виду его тригонометрическую или показательную форму.
Содержание
Вещественный ряд Фурье
Таким образом, дискретные спектры можно разделить на дискретные вещественные пространственно-частотные спектры (ПЧС) и дискретные вещественные частотно-временные спектры (ЧВС).
Пространственно-частотное представление входного двумерного сигнала в виде ряда смещенных по фазе косинусоидальных гармоник ( 1.2 ) <\displaystyle \color
Тригонометрический ряд обычно используют для разложения периодических оптических, радио- и электрических сигналов, описываемых четными или нечетными функциями.
Комплексный ряд Фурье
При анализе оптических, радио- и электрических сигналов на практике удобно пользоваться рядом Фурье, заданным не в тригонометрической, а в комплексной экспоненциальной форме. Переход от тригонометрических рядов ( 1.1 ) <\displaystyle \color
Они показывают, что при освещении косинусоидального или синусоидального транспаранта (дифракционной решетки) плоской нормально падающей волной с единичной амплитудой на его выходе формируются (дифрагируют) две плоские волны, распространяющиеся в плоскости xOz симметрично относительно оптической оси Oz (см. рис. 2.1).
Общее выражение для комплексного ряда Фурье имеет вид:
Многомерные ряды Фурье
Для многомерных сигналов также существует разложение в ряд Фурье как функций от нескольких аргументов. Для упрощения математических выкладок многомерные ряды Фурье записываются в комплексной форме.
Анализ Фурье
Из Википедии — свободной энциклопедии
Анализ Фурье — направление в анализе, изучающее каким образом общие математические функции могут быть представлены либо приближены через сумму более простых тригонометрических функций. Анализ Фурье возник при изучении свойств рядов Фурье, и назван в честь Жозефа Фурье, который показал, что представление функции в виде суммы тригонометрических функций значительно упрощает изучение процесса теплообмена.
Сегодня [ уточнить ] предметом анализа Фурье является широкий спектр математических задач. В науке и технике, процесс разложения функции на колебательные компоненты часто называют анализом Фурье, хотя оперирования и восстановления функций из таких частей известно как синтез Фурье.
Например, при определении какие именно компоненты частот присутствуют в музыкальной ноте, применяют расчёты преобразования Фурье выбранной музыкальной ноты. После чего можно ресинтезировать тот же звук используя те частотные компоненты, которые обнаружили в анализе Фурье. В математике анализом Фурье часто называют обе эти операции.
Процесс разложения сам по себе называется преобразованием Фурье.
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
Распространяется под лицензией LGPL v3
В предыдущем разделе было рассмотрено разложение периодических сигналов в ряд Фурье. Были приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также введено понятие спектра периодического сигнала.
В данном разделе мы рассмотрим некоторые свойства спектров периодических сигналов. Как мы увидим позже, аналогичными свойствами обладают преобразование Фурье непериодических сигналов, а также дискретное преобразование Фурье.
Циклический сдвиг характерен периодическим сигналам. Спектр сигнала с циклическим временным сдвигом равен:
Пусть сигнал представляет собой циклическую (периодическую) свертку [2, стр. 362] сигналов и
Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки сигналов в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов, произведением их спектров.
Пусть представляет собой вещественный периодический сигнал. Рассмотрим подробнее его спектр:
Если же периодический сигнал — комплексный, то симметрия спектра сигнала нарушается, что будет показано в следующем параграфе.
Таким образом, сигнал удовлетворяет условиям Дирихле, и его спектр равен:
На рисунке 2 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении на комплексную экспоненту при рад/c.
При этом важно отметить, что сам сигнал стал комплексным (на графике показана отдельно реальная и мнимая части сигнала), его амплитудный спектр при этом перестал быть симметричным, а фазовый — антисимметричным относительно нулевой частоты.
На рисунке 3 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении на при рад/c (5 Гц), и рад.
Из рисунка 3 можно видеть, что спектр смещенного по частоте сигнала есть сумма смещенных на частоты спектров половинной амплитуды. При этом заметим, что вещественный сигнал остается вещественным с симметричным амплитудным и антисимметричным фазовым спектром.
Подставим в (19) вместо выражение ряда Фурье в комплексной форме:
В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства спектров периодических сигналов: линейность, свойства временного и частотного сдвигов, спектр свертки и произведения сигналов. Мы также проанализировали свойство симметрии спектра вещественного сигнала и получили, что амплитудный спектр периодического сигнала является симметричным, а фазовый спектр — антисимметричным относительно нулевой частоты. Также мы рассмотрели равенство Парсеваля, которое устанавливает соотношение средней мощности сигнала во временной и частотной областях, и свойство дифференцирования и интегрирование исходного сигнала.
В следующем разделе мы проанализируем разложение непериодических сигналов по системе комплексных экспонент и получим непрерывное преобразование Фурье.
Данные для построения рисунков данного раздела были просчитаны при использовании библиотеки DSPL-2.0